Комбинаторика. Задача 8-8

Матвей составляет 6-буквенные коды из букв М, А, Т, В, Е, Й. Каждую букву нужно использовать ровно 1 раз, при этом код не может начинаться с буквы Й и не может содержать сочетания АЕ. Сколько различных кодов может составить Матвей?

Ответ
504
Решение

Сначала подсчитаем общее количество слов, в которых не используется буква Й на первом месте. На первом месте может быть 4 различные буквы, на втором тоже 4, потому что из пяти букв одна уже стоит на первом. На третьем месте могут стоять 3 различные буквы, на четветом - 2, а на последнем одна оставшаяся. Поэтому:

5 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 600

Затем определим, сколько слов могут содержать сочетание АЕ. Допустим, АЕ стоит в начале, при этом таких слов:

1 ⋅ 1 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24

Если АЕ на втором и третьем местах, на первом месте могут стоять 3 различные буквы, потому что из четырех возможных, слова с буквой А мы уже подсчитали (буква Й там не может стоять):

3 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 18. 

Если АЕ на третьем и четвертом местах, на втором месте могут стоять 3 различные буквы, потому что из пяти возможных, слова с буквами А и Е на этом месте мы уже подсчитали:

3 ⋅ 3 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 1 = 18

Если АЕ на  четвертом и пятом местах:

3 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 18

Если АЕ на  и пятом и шестом местах:

3 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 18

Из общего количества слов вычитаем количество с сочетанием АЕ:

600 - 24 -18 -18 -18 - 18 = 504