Системы счисления. Задача 1-16

Способ 1

Если число в двоичной системе счисления оканчивается на 1, то искомое число в десятичной системе счисления при делении на 2 должно давать остаток 1, то есть x = 2 ∗ y + 1, где x - искомое число, а y - любое целое положительное число.

В свою очередь число y должно делиться на 2 без остатка, так как следующий разряд в двоичной записи числа 0, y = 2 ∗ z , где z любое положительное целое число.

Наконец, для третьего разряда (следующего деления): z = 2 ∗ k + 1, где k - любое целое положительное число.

Подставляя это выражение в предыдущее получим: y = 2 ∗ (2 ∗ k + 1) = 4 ∗ k + 2

Полученное выражение подставим в первое: x = 2 ∗ (4 ∗ k + 2) + 1 = 8 ∗ k + 5 .

При k = 0, получаем x = 5,
при k = 1, получаем x = 13,
при k = 2, получаем x = 21,
при k = 3, получаем x = 29,
при k = 4, получаем x = 37, но оно уже больше 30.

Способ 2

Искомые числа в двоичной системе счисления занимают 5 разрядов, так как 2⁵ = 32, что больше 30. Запишем все пяти-разрядные двоичные числа, которые оканчиваются на 101:

Обратите внимание - старшие два разряда последовательно меняются.

Переведем полученные числа в десятичную систему счисления:

00101₂ = 2² + 2⁰ = 5
01101₂ = 2³ + 2² + 2⁰ = 13
10101₂ = 2⁴ + 2² + 2⁰ = 21
11101₂ = 2⁴ + 2³ + 2² + 2⁰ = 29