Системы счисления. Задача 1-19

Укажите через запятую в порядке возрастания все числа, не превосходящие 33, запись которых в двоичной системе счисления оканчивается на 100. Числа указывайте в десятичной системе счисления.

Ответ
4,12,20,28
Решение

Если число в двоичной системе счисления оканчивается на 0, то искомое число в десятичной системе счисления при делении на 2  не должно давать остаток, то есть x = 2 ∗ y, где x - искомое число, а y - любое целое положительное число.

В свою очередь число y тоже должно делиться на 2 без остатка, так как следующий разряд в двоичной записи числа 0, y = 2 ∗ z , где z любое положительное целое число.

Наконец, для третьего разряда (следующего деления): z = 2 ∗ k  + 1, где k - любое целое положительное число.

Подставляя это выражение в предыдущее получим: y = 2 ∗ (2 ∗ k + 1) = 4 ∗ k  + 2

Полученное выражение подставим в первое: x = 2 ∗ (4 ∗ k + 2) =  8 ∗ k + 4 .

При k = 0, получаем x = 4,
при  k = 1, получаем x = 12,
при  k = 2, получаем x = 20,
при  k = 3, получаем x = 28,
при  k = 4, получаем x = 36, но оно уже больше 33.