Системы счисления. Задача 1-53*

Сколько единиц в двоичной записи числа 42015 + 8405 – 2150 – 122?

Ответ
1210
Решение

Приведем выражение к степеням 2, учитывая, что 42015 = 24030,  8405 = 21215,  122 = 128 - 4 - 2 = 27 - 22 - 21:

24030 + 21215 - 2150 - 27 + 22 + 21

24030 - это двоичная запись из 4031 знаков, одной единицы и 4030 нулей.

Вспомним, что 2N - 2K, при K <  N записывается как (N - K) единиц и K нулей. Для использования этого свойства нужно, чтобы в выражении были представлены пары вида 2N - 2K и степени двойки располагались по убыванию. В нашем выражении - 2150 - 27, но мы можем представить - 2150 как - 2151 + 2150, поэтому:

24030 + 21215 - 2151 + 2150 - 27 + 22 + 21.

В этом выражении две пары 2N - 2K, а остальные слагаемые дают по одной единице:

1 + (1215 - 151) + (150 - 7) + 1 + 1 = 1210.