Системы счисления. Задача 1-53*

Приведем выражение к степеням 2, учитывая, что 4²⁰¹⁵ = 2⁴⁰³⁰, 8⁴⁰⁵ = 2¹²¹⁵, 122 = 128 - 4 - 2 = 2⁷ - 2² - 2¹:

2⁴⁰³⁰ + 2¹²¹⁵ - 2¹⁵⁰ - 2⁷ + 2² + 2¹

2⁴⁰³⁰ - это двоичная запись из 4031 знаков, одной единицы и 4030 нулей.

Вспомним, что 2^N - 2^K, при K < N записывается как (N - K) единиц и K нулей. Для использования этого свойства нужно, чтобы в выражении были представлены пары вида 2^N - 2^K и степени двойки располагались по убыванию. В нашем выражении - 2¹⁵⁰ - 2⁷, но мы можем представить - 2¹⁵⁰ как - 2¹⁵¹ + 2¹⁵⁰, поэтому:

2⁴⁰³⁰ + 2¹²¹⁵ - 2¹⁵¹ + 2¹⁵⁰ - 2⁷ + 2² + 2¹.

В этом выражении две пары 2^N - 2^K, а остальные слагаемые дают по одной единице:

1 + (1215 - 151) + (150 - 7) + 1 + 1 = 1210.