Алгебра логики. Задача 4-31

Символом  \( F \)  обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов \( X, Y, Z \) . Дан фрагмент истинности выражения  \( F \) :

\( X \) \( Y \) \( Z \) \( F \)
0 0 1 0
0 1 0 1
1 1 1 1

Какое выражение соответствует \( F \)?

1)  \( Y ∨ (X → Z) \)     2) \( Y ∧ (¬X ∨ ¬Z) \)     3) \( ¬Y → (X ∧ Z) \)     4) \( (Y ∨ X) ∧ ¬Z \)

Ответ
3
Решение

Упростим выражения:

1)  \( Y + \overline{X} + Z \)     2) \( Y ⋅ (\overline{X} + \overline{Z}) \)     3) \( Y + (X ⋅ Z) \)     4) \( (Y + X) ⋅ \overline{Z} \)

Первое выражение противоречит первой строке таблицы, потому что при \( X = 0 \) результат выражения будет равен 1. Второе выражение противоречит третьей строке, потому что при \( X, Z \), равными соответственно 1, 1, результат будет равным 0. Четвертое выражение противоречит третьей строке таблицы, потому что при \( Z = 1 \) результат будет равным 0.

Проверим выражение 3, вычислив все его значения на наборах данных таблицы:

\( Y + (X ⋅ Z) = 0 + (0 ⋅ 1) = 0 \)

\( Y + (X ⋅ Z) = 1 + (0 ⋅ 0) = 1 \)

\( Y + (X ⋅ Z) = 1 + (1 ⋅ 1) = 1 \)