Системы счисления

Система счисления - это набор символов и правила их применения для представления чисел.

Системы счисления могут быть позиционными и непозиционными. В позиционных системах значение цифры зависит от позиции, на которой стоит цифра в записи числа, а в непозиционных - не зависит.

В качестве примера непозиционной можно привести римскую систему счисления, в которой были приняты семь базовых чисел. В следующей таблице символам римской системы сопоставлены числа в десятичной:

Остальные числа получаются в результате сложения и вычитания по следующему правилу: если меньшее базовое число предшествует большему (стоит левее в записи), то оно вычитается, если же за базовым числом стоит меньшее или оно последнее - то складывается с результатом, при этом подряд не должно стоять больше трех одинаковых символов. Например,

IV: -1 + 5 = 4,

MCDXCVIII: 1000 - 100 + 500 - 10 + 100 + 5 + 1 + 1 + 1 = 1498

Максимальным числом, которое можно представить в классической римской системе является 3999.

В нашей повседневной жизни мы пользуемся десятичной позиционной системой счисления. В ней десять цифр - от 0 до 9, а их значение зависит от позиции. Цифра, которая находится в самом младшем (правом) разряде записи числа, обозначает количество единиц в числе. Цифра в следующем, более старшем разряде (левее самого младшего), обозначает количество десятков, в следующем - количество сотен, и т.д..

Количество цифр, используемых в системе счисления, называется основанием системы. В таблице приведены примеры, распространенных в информатике систем счисления, их основания и наборы цифр (алфавит):

Так как обычных цифр всего десять, то для обозначения остальных цифр в шестнадцатеричной системе используются буквы латинского алфавита.

Основной системой в информатике является двоичная, потому что вычисления реализовать в электронных устройствах оказывается достаточно просто именно в этой системе. Современная компьютерная техника основана на электронных логических элементах, имеющих два уровня сигнала - низкий и высокий, соответствующих нулю и единице.

Ниже приведена таблица первых шестнадцати чисел в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления:

Можно заметить, что во всех системах при последовательной записи чисел, сначала используется один разряд, в котором меняется цифра (символ алфавита системы), после того, как цифры исчерпаны, для представления следующего числа уже необходимо две цифры и оно обозначается как 10. В общем случае имеет место быть равенство:

q = 10_q,

где q - основание системы счисления, а 10_q читается как один, ноль. Нижний индекс указывает в какой системе записано число. Для приведенных в таблице систем: 2=10₂, 8 = 10₈, 16 = 10₁₆.

Также в таблице можно заметить, что трех-разрядному двоичному числу соответствует одноразрядное восьмеричное, а четырех-разрядному двоичному - одноразрядное шестнадцатеричное. Это значит, что зная эту таблицу, можно производить прямое преобразование между двоичным и восьмеричным, а также между двоичным и шестнадцатеричным числами.

Например, чтобы перевести 1101010₂ в шестнадцатеричного число, разделим условно число на группы по четыре разряда: 0110 1010, при этом отсчет ведем с младшего (правого) разряда, а группу, в которой разрядов меньше четырех, дополняем справа нулями. По таблице находим соответствие: 0110 - это 6, 1010 - A. Получилось - 6A₁₆.

Переведем число 273₈ в двоичный вид. 2₈ - 010₂, 7₈ - 111₂, 3₈ - 011₂, записываем последовательно и получаем - 010111011₂.

Перевод в десятичную систему счисления

Для n-разрядного целого числа в десятичной системе справедливо выражение:

Х₁₀ = A_n-1 ⋅10^n-1 + A_n-2 ⋅10^n-2 + … + A₁ ⋅10¹ + A₀ ⋅10⁰,

где
Х₁₀ - число, записанное в десятичной системе, в нижнем индексе указано основание системы,
А_n-1 .. А₀ - цифры в соответствующих разрядах числа.

Это выражение - разложение десятичного числа по степеням десяти - основания системы. Например, для числа 7583:

7583₁₀ = 7⋅10³ + 5⋅10² + 8⋅10¹ + 3⋅10⁰

Аналогичное выражение справедливо для любой позиционной системы счисления:

X_q = A_n-1⋅q^n-1 + A_n-2⋅q^n-2 + … + A₁⋅q¹ + A₀⋅q⁰,

где
q - основание системы счисления,
X_q- число, записанное в системе счисления с основанием q,
А_n-1 .. А₀ - цифры в соответствующих разрядах числа.

Например,

2C4₁₆ = 2⋅16² + 12⋅16¹ + 4⋅16⁰ = 2⋅256 + 12⋅16 + 4⋅1 = 512 + 192 + 4 = 708₁₀

Для числа с дробной частью:

X_q = A_n-1⋅q^n-1 + A_n-2⋅q^n-2 + … + A1⋅q¹ + A₀⋅q⁰ + A-₁⋅q^-1 + A_-2⋅q^-2…

Например,

10011,101₂ = 1⋅2⁴ + 0⋅2³ + 0⋅2² + 1⋅2¹ + 1⋅2⁰ + 1⋅2^-1 + 0⋅2^-2 + 1⋅2^-3 =
= 16 + 0 + 0 + 2 + 1 + 0,5 + 0 + 0,125 = 19,625₁₀

Перевод числа из десятичной системы в другие

Для перевода из десятичной системы в другую применяется метод последовательного деления числа на основание системы, в которую переводят, до тех пор, пока частное не окажется меньше основания другой системы. Результат записывается слева направо следующим образом: первым записывается последнее полученное частное, затем записывается каждый остаток последовательного деления в обратном порядке.

Например, переведем число 169₁₀ в двоичную систему:

Результат записываем, как показано стрелками: 10101001₂. Заметим, что в результате первого деления, полученный остаток является самым младшим разрядом числа в другой системе счисления.

Чтобы перевести дробную часть числа, представленному в десятичной системе, надо применить другой метод - последовательное умножение дробной части на основание системы, в которую переводим. Допустим, нужно перевести 0,375₁₀ в двоичную систему счисления.

Вычисления метода удобно записывать в виде столбика, Проводится вертикальная черта, отделяющая дробную часть, Если в результате умножения дробной части получаем число, в котором количество разрядов совпадает с количеством разрядов дробной части, то в следующей строке слева от вертикальной черты пишем 0, если же больше, то старшие разряды полученного произведения, превышающие дробную часть по количеству разрядов. Справа от черты пишем младшие разряды полученного произведения в количестве равным количеству разрядов дробной части.

В нашем случае, 375 ⋅ 2 = 750, значит, во второй строке пишем слева от черты 0, а справа - 750. Снова умножаем на 2 полученную дробную часть - 750 ⋅ 2 = 1500. Число разрядов 4, поэтому в следующей строке 1 пишем слева от черты, а 500 - справа. Теперь умножаем 500 на 2, заметьте, что умножаем только часть полученного числа, стоящую справа от черты. 500 ⋅ 2 = 1000. В следующей строке пишем 1 слева от черты, 000 - справа. Дальнейшее умножение не имеет смысла, так как будем получать всегда 0. Результатом перевода будет левый столбик - 0,011₂.

Не всегда последовательное умножение приводит к получению конечной дроби, тогда умножение проводят столько раз, сколько требуется по условиям задачи, т.е. сколько знаков требуется после запятой.

Переведем 3427,58 из десятичной системы в шестнадцатеричную с точностью дробной части 4 знака после запятой.

Переводим целую часть методом деления:

Так как 13 в шестнадцатеричной системе - D, то результат - D63₁₆.

Переведем дробную часть:

Полученное число D63,947A₁₆.

Арифметические операции с числами в двоичной системе счисления

Методы арифметических операций с двоичными числами точно такие, какие используются для операций с десятичными числами. Рассмотрим несколько примеров.

10110111₂ + 10001₂

Записываем числа один под другим, при этом числа должны быть "выровнены" по правому краю. Складываем поразрядно, начиная с младших (правых) разрядов. При этом, если сумма разрядов получается двух-разрядной - старший переносим на следующий разряд общего результата.

11011001₂ - 11101₂

1010₂ ∗ 101₂

1100010₂ / 101₂

Свойства двоичных чисел

Число 2^N в двоичной системе счисления записывается как единица и N нулей, например

2⁴ = 10000₂.

Аналогично, для любой другой системы счисления, число q^N в q-ой системе счисления записывается как единица и N нулей, например

3³ = 1000₃.

Число 2^N - 1 в двоичной системе счисления записывается как N единиц, например

2⁴ - 1 = 15₁₀ = 1111₂.

Для любой системы счисления, число q^N - 1 в q-ой системе счисления записывается как N цифр (q-1), например

3⁴ - 1 = = 2222₃.

Число 2^N - 2^K , при K < N в двоичной системе счисления записывается как (N - K) единиц и K нулей, например

2⁵ - 2² = 11100₂.

Для системы счисления с основанием q, число q^N - q^K , при K < N записывается как (N - K) цифр (q-1) и K нулей, например

3⁵ - 3² = 22200₃.

Имеют место быть выражения:

2^N + 2^N = 2 ∗ 2^N = 2^N+1,

2^N = 2^N+1 - 2^N,

- 2^N = - 2^N+1 + 2^N.

Задачи для самостоятельного решения

• Задача 1-1
  Сколько единиц в двоичной записи числа 113,5?
• Задача 1-2
  Сколько единиц в двоичной записи числа 21,25?
• Задача 1-3
  Сколько единиц в двоичной записи числа 32,625?
• Задача 1-4
  Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 29,25?
• Задача 1-5
  Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 18,125?
• Задача 1-6
  Укажите в порядке возрастания через запятую все основания систем, в которых запись десятичного числа 53 оканчивается на 3.
• Задача 1-7
  Укажите в порядке возрастания через запятую все основания систем, в которых запись десятичного числа 26 оканчивается на 2.
• Задача 1-8
  Укажите в порядке возрастания через запятую все основания систем, в которых запись десятичного числа 33 оканчивается на 1.
• Задача 1-9
  Укажите в порядке возрастания через запятую все основания систем, в которых запись десятичного числа 40 оканчивается на 4.
• Задача 1-10
  Укажите в порядке возрастания через запятую все основания систем, в которых запись десятичного числа 39 оканчивается на 7.
• Задача 1-11
  В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 43 записывается как 111. Укажите это основание.
• Задача 1-12
  В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 85 записывается как 151. Укажите это основание.
• Задача 1-13
  В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 34 записывается как 202. Укажите это основание.
• Задача 1-14
  В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 148 записывается как 125. Укажите это основание.
• Задача 1-15
  В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 202 записывается как 244. Укажите это основание.
• Задача 1-16
  Укажите через запятую в порядке возрастания все числа, не превосходящие 30, запись которых в двоичной системе счисления оканчивается на 101. Числа указывайте в десятичной системе счисления.
• Задача 1-17
  Укажите через запятую в порядке возрастания все числа, не превосходящие 17, запись которых в двоичной системе счисления оканчивается на 11. Числа указывайте в десятичной системе счисления.
• Задача 1-18
  Укажите через запятую в порядке возрастания все числа, не превосходящие 35, запись которых в двоичной системе счисления оканчивается на 110. Числа указывайте в десятичной системе счисления.
• Задача 1-19
  Укажите через запятую в порядке возрастания все числа, не превосходящие 33, запись которых в двоичной системе счисления оканчивается на 100. Числа указывайте в десятичной системе счисления.
• Задача 1-20
  Укажите через запятую в порядке возрастания все числа, не превосходящие 15, запись которых в двоичной системе счисления оканчивается на 10. Числа указывайте в десятичной системе счисления.
• Задача 1-21
  Для кодирования букв А, Б, В, Г решили использовать двух-разрядные двоичные числа (от 00₂ до 11₂ соответственно). Какое число получится, если закодировать таким образом последовательность ГБАВ и перевести результат в шестнадцатеричную систему счисления?
• Задача 1-22
  Для кодирования букв А, Б, В, Г решили использовать двух-разрядные двоичные числа (от 00₂ до 11₂ соответственно). Какое число получится, если закодировать таким образом последовательность ВАБГ и перевести результат в восьмеричную систему счисления?
• Задача 1-23
  Для кодирования букв А, Б, В, Г решили использовать двух-разрядные двоичные числа (от 00₂ до 11₂ соответственно). Какое число получится, если закодировать таким образом последовательность ВГБА и перевести результат в восьмеричную систему счисления?
• Задача 1-24
  Для кодирования букв А, Б, В, Г решили использовать двух-разрядные двоичные числа (от 00₂ до 11₂ соответственно). Какое число получится, если закодировать таким образом последовательность ГАВБ и перевести результат в шестнадцатеричную систему счисления?
• Задача 1-25
  Для кодирования букв А, Б, В, Г решили использовать двух-разрядные двоичные числа (от 00₂ до 11₂ соответственно). Какое число получится, если закодировать таким образом последовательность ГВБА и перевести результат в шестнадцатеричную систему счисления?
• Задача 1-26
  Переведите десятичное число 13,5 в двоичную систему счисления.
• Задача 1-27
  Переведите десятичное число 21,375 в двоичную систему счисления.
• Задача 1-28
  Переведите десятичное число 41,25 в двоичную систему счисления.
• Задача 1-29
  Переведите десятичное число 38,75 в двоичную систему счисления.
• Задача 1-30
  Переведите десятичное число 27,625 в двоичную систему счисления.
• Задача 1-31
  Переведите десятичное число 416 в восьмеричную систему счисления.
• Задача 1-32
  Переведите десятичное число 510 в восьмеричную систему счисления.
• Задача 1-33
  Переведите десятичное число 523 в шестнадцатеричную систему счисления.
• Задача 1-34
  Переведите десятичное число 680 в шестнадцатеричную систему счисления.
• Задача 1-35
  Переведите десятичное число 495 в шестнадцатеричную систему счисления.
• Задача 1-36
  Вычислите значение суммы 101₂ + 11₈ + 10₁₆. Результат запишите в виде десятичного числа.
• Задача 1-37
  Вычислите значение суммы 221₄ + 55₈ + 55₁₀. Результат запишите в виде шестнадцатеричного числа.
• Задача 1-38
  Вычислите значение разности 11₁₆ - 11₈. Результат запишите в виде десятичного числа.
• Задача 1-39
  Вычислите значение разности 573₁₀ - 573₈. Результат запишите в виде шестнадцатеричного числа.
• Задача 1-40
  Вычислите значение разности A7₁₆ - 11010₂. Результат запишите в виде шестнадцатеричного числа.
• Задача 1-41*
  Сколько единиц в двоичной записи восьмеричного числа 7351₈?
• Задача 1-42*
  Сколько единиц в двоичной записи восьмеричного числа 1234₈?
• Задача 1-43*
  Сколько значащих нулей в двоичной записи восьмеричного числа 7512₈?
• Задача 1-44*
  Укажите наибольшее число, двоичная запись которого содержит ровно три значащих нуля и две единицы, причём единицы не стоят рядом. Ответ запишите в десятичной системе счисления.
• Задача 1-45*
  Укажите наибольшее четырёхзначное шестнадцатеричное число, двоичная запись которого содержит ровно 9 нулей. В ответе запишите только само шестнадцатеричное число, основание системы счисления указывать не нужно.
• Задача 1-46*
  Укажите наименьшее четырёхзначное шестнадцатеричное число, двоичная запись которого содержит ровно 6 нулей. В ответе запишите только само шестнадцатеричное число, основание системы счисления указывать не нужно.
• Задача 1-47*
  Сколько существует натуральных чисел x, для которых выполняется неравенство 10011011₂ < x < 10011111₂? В ответе укажите только количество чисел, сами числа писать не нужно
• Задача 1-48*
  В системе счисления с основанием N запись числа 87 оканчивается на 2 и содержит не более двух цифр. Чему равно число N? Если у задачи есть несколько решений, выберите наименьшее.
• Задача 1-49*
  В системе счисления с основанием N запись числа 87 оканчивается на 2 и содержит не менее трёх цифр. Чему равно число N?
• Задача 1-50*
  Сколько единиц в двоичной записи числа 4²⁰¹⁴ + 2²⁰¹⁵ – 8
• Задача 1-51*
  Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 4¹⁶ + 2³⁶ — 16?
• Задача 1-52*
  Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 4⁵¹² + 8⁵¹² – 2¹²⁸ – 250?
• Задача 1-53*
  Сколько единиц в двоичной записи числа 4²⁰¹⁵ + 8⁴⁰⁵ – 2¹⁵⁰ – 122?
• Задача 1-54*
  Решите уравнение 121_x + 1 = 101₇. Ответ запишите в троичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.
• Задача 1-55*
  Значение арифметического выражения: 9⁸ + 3⁵ — 2 записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?
• Задача 1-56*
  Значение арифметического выражения: 9⁸ + 3⁵ – 9 — записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?