Алгебра логики. Задача 4-63

Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m».

Для какого наибольшего натурального числа А формула

¬ДЕЛ(x, А) → (ДЕЛ(x, 6) → ¬ДЕЛ(x, 4))

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

Ответ
12
Решение

Обозначим: ДЕЛ(x, А) как A, (ДЕЛ(x, 6) как B, ДЕЛ(x, 4) как C, тогда

\( \overline{A} → (B → \overline{C}) \), пребразуем: \( A + \overline{B} + \overline{C} \). Полученное выражение дизъюнкция, поэтому  А должно быть истинным, когда выражение \(  \overline{B} + \overline{C} \) ложно, которое, в свою очередь, ложно когда B  и C истинны. То есть x должно делиться без остатка на число A, когда оно делится без остатка и на 4 и на 6. Это условие выполняется при наименьшем общем кратном чисел 4 и 6, которым является 12. Заметим, что в качестве А можно использовать любой делитель числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12. В условии требуется наибольшее число.