Комбинаторика. Задача 8-10

Сколько существует шестизначных чисел, делящихся на 5, в которых каждая цифра может встречаться только один раз, при этом никакие две чётные и две нечётные цифры не стоят рядом.

Ответ
1296
Решение

Заметим, что четных и нечетных цифр по 5 и на 5 делятся числа, оканчивающиеся на 0 и 5. Рассмотрим отдельно два случая: когда число начинается с нечетной цифры и когда начинается с четной.

В случае начала с четного числа, которая может быть одной из пяти цифр, оканчиваться число может только на 0. На втором месте могуть быть 4 четных цифры (0 уже стоит на последнем месте). На третьем - 4 нечетные цифры (одна уже стоит на первом месте). На четвертом - 3 четные возможные цифры, на пятом - 3 нечетные:

5 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 1 = 720

В случае начала с четного числа, которая может быть одной из 4 (кроме 0), оканчиваться оно может только на 5. На втором месте могуть быть 4 нечетных цифры (5 уже стоит на последнем месте). На третьем - 4 цифры, на четвертом - 3 , на пятом - 3.:

4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 1 = 576

Складываем, 720 + 576 = 1296