Системы счисления. Задача 1-52*

Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 4512 + 8512 – 2128 – 250?

Ответ
519
Решение

Чтобы найти количество значащих нулей, надо найти общее количества знаков и вычесть из него количества единиц.

Приведем выражение к степеням 2, учитывая, что 4512 = 21024,  8512 = 21536,  250 = 256 - 4 - 2 = 28 - 22 - 21:

21536 + 21024 - 2128 - 28 + 22 + 21

21536 - это двоичная запись из 1537 знаков, одной единицы и 1536 нулей.

Вспомним, что 2N - 2K, при K <  N записывается как (N - K) единиц и K нулей. Для использования этого свойства нужно, чтобы в выражении были представлены пары вида 2N - 2K и степени двойки располагались по убыванию. В нашем выражении - 2128 - 28, но мы можем представить - 2128 как - 2129 + 2128, поэтому:

21536 + 21024 - 2129 + 2128 - 28 + 22 + 21.

В этом выражении две пары 2N - 2K, а остальные слагаемые дают по одной единице:

1 + (1024 - 129) + (128 - 8) + 1 + 1 = 1018.

Количество нулей: 1537 - 1018 = 519.