Алгебра логики. Задача 4-50*

На числовой прямой даны два отрезка: P = [25, 37] и Q = [32, 50]. Отрезок A таков, что формула

((x ∈ A) & ¬(x ∈ Q))  → ((x ∈ P)) & (x ∈ Q))

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Какова наибольшая возможная длина отрезка A?

Ответ
18
Решение

Обозначим: (x ∈ A) как A, (x ∈ P) как P, (x ∈ Q) как Q и преобразуем выражение: \( (A⋅\overline{Q}) → (P⋅Q) = \overline{A} + Q + P⋅Q \) \( = \overline{A} + Q  \)

Отразим на числовой оси отрезок Q:

Отрезки A, P, Q

Чтобы выражение \( \overline{A} + Q \) было бы истинным при любом значении x, высказывание \( \overline{A} \)  должно быть истинным, когда \( Q \)  ложно, поэтому высказывание \( A \) должно быть истинным, когда \( Q \) истинно. Из этого следует, что \( A \) может занимать любой отрезок в области \(  Q \), но по условию задачи необходима наибольшая длина, поэтому он должен занимать всю область \( Q \), длина которой 50 - 32 = 18.