Алгебра логики. Задача 4-50*

На числовой прямой даны два отрезка: P = [25, 37] и Q = [32, 50]. Отрезок A таков, что формула

((x ∈ A) & ¬(x ∈ Q)) → ((x ∈ P)) & (x ∈ Q))

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Какова наибольшая возможная длина отрезка A?

Ответ

Решение

Обозначим: (x ∈ A) как A, (x ∈ P) как P, (x ∈ Q) как Q и преобразуем выражение: $(A⋅\overline{Q}) → (P⋅Q) = \overline{A} + Q + P⋅Q$ $= \overline{A} + Q$

Отразим на числовой оси отрезок Q:

Отрезки A, P, Q

Чтобы выражение $\overline{A} + Q$ было бы истинным при любом значении x, высказывание $\overline{A}$ должно быть истинным, когда $Q$ ложно, поэтому высказывание $A$ должно быть истинным, когда $Q$ истинно. Из этого следует, что $A$ может занимать любой отрезок в области $Q$ , но по условию задачи необходима наибольшая длина, поэтому он должен занимать всю область $Q$ , длина которой 50 - 32 = 18.

◄▲►