Системы счисления. Задача 1-18

Укажите через запятую в порядке возрастания все числа, не превосходящие 35, запись которых в двоичной системе счисления оканчивается на 110. Числа указывайте в десятичной системе счисления.

Ответ
6,14,22,30
Решение

Если число в двоичной системе счисления оканчивается на 0, то искомое число в десятичной системе счисления при делении на 2  не должно давать остаток, то есть x = 2 ∗ y, где x - искомое число, а y - любое целое положительное число.

В свою очередь число y должно делиться на 2 с остатком 1, так как следующий разряд в двоичной записи числа 1, y = 2 ∗ z + 1 , где z любое положительное целое число.

Наконец, для третьего разряда (следующего деления): z = 2 ∗ k  + 1, где k - любое целое положительное число.

Подставляя это выражение в предыдущее получим: y = 2 ∗ (2 ∗ k + 1)  + 1 = 4 ∗ k  + 3

Полученное выражение подставим в первое: x = 2 ∗ (4 ∗ k + 3) =  8 ∗ k + 6 .

При k = 0, получаем x = 6,
при  k = 1, получаем x = 14,
при  k = 2, получаем x = 22,
при  k = 3, получаем x = 30,
при  k = 4, получаем x = 38, но оно уже больше 35.