Системы счисления. Задача 1-54*

Решите уравнение 121x + 1 = 1017. Ответ запишите в троичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.

Ответ
20
Решение

Преобразуем уравнение: 121x = 1017 - 1, 121x = 1007.

Переведеи 1007 в десятичное число: 1  72  + 0 ∗ 71 + 0 ∗ 70 = 4910, получаем окончательный вид уравнения:

121x = 49

Так как младший разряд числа в системе счисления с основанием x  равен 1, то при делении 49 на x должен получится остаток 1, то есть имеет место быть выражение:

49 = x ∗ y + 1, где y - некоторое целое положительное число.

В свою очередь, при делении y на x должен получиться остаток 2: y = z ∗ x + 2, при z = 1 , так как старший разряд числа равен 1.

Подставляем это выражение в предыдущее: 49 = x ∗ (x + 2) + 1 и преобразуем:

x2 + 2 ∗ x - 48 = 0.

Решим это квадратное уравнение:

\( D = 2^2 - 4∗1∗(-48) = 4 + 192 = 196; \) \( \sqrt{D} = \sqrt{196} = 14 \)

\( x_{1} = \frac{-2-14}{2} = -8; x_{2} = \frac{-2+14}{2} = 6 \)

Отбрасываем отрицательный корень квадратного уравнения, получаем основание системы 6 и преобразуем в троичное число:

 6    3    
 0    2

610 = 203