Алгебра логики. Задача 4-42

Каково наибольшее целое число X, при котором ложно высказывание ((X - 10) ⋅ X + 25 > 0)→(X ⋅ X > 30)?

Ответ
5
Решение

Обозначим ((X - 10) ⋅ X + 25 > 0) = (X2 - 10X + 25 > 0) как A, (X ⋅ X > 30) = X2 > 30 как B, подставим в выражение и преобразуем: \( A→B = \overline{A} + B  \)

Полученное выражение ложно, когда ложны оба члена дизъюнкции. Решим оба квадратных уравнения:

(X2 - 10X + 25 > 0),  D = 102 - 4⋅1⋅25 = 0, у уравнения один корень X = \( -\frac{10}{2⋅1} \) = -5, поэтому X  -5, так как \( \overline{A} \)

X2 > 30 , X > 5, потому что корень  больше 5, но меньше 6, а речь в условии идет о целых числах.

Так как оба высказывания должны быть ложны, то X > -5 и X ≤ 5. Наибольшее целое, удовлетворяющее этому условию: 5.