Алгебра логики. Задача 4-36*

Логическая функция F задаётся выражением (a ∧ ¬c) ∨ (¬a ∧ b ∧ c). Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных a, b, c.

??? ??? ??? F
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0

В ответе напишите буквы a, b, c в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (без разделителей).

Ответ
acb
Решение

Так как дана полная таблица истинности функции, то можем записать ее логическое выражение. Обозначим столбцы как \( x1, x2, x3 \) и для строк со значением функции, равным 1, составим конъюнкции:

\( x1 \) \( x2 \) \( x3 \) Конъюнкция
0 1 1 \( \overline{x1}⋅x2⋅x3 \)
1 0 0 \( x1⋅\overline{x2}⋅\overline{x3} \)
1 0 1 \( x1⋅\overline{x2}⋅⋅x3 \)

Записываем выражение функции в дизъюнктивной форме и преобразовываем его:

\( \overline{x1}⋅x2⋅x3 + x1⋅\overline{x2}⋅\overline{x3} + x1⋅\overline{x2}⋅⋅x3  = \overline{x1}⋅x2⋅x3 + (x1⋅\overline{x2})⋅\overline{x3} + (x1⋅\overline{x2})⋅x3 = \overline{x1}⋅x2⋅x3 + x1⋅\overline{x2} \)

Сравнивая с выражением в условии задачи можно заметить, что в члене дизъюнкции, с двумя переменными, одно представлено с инверсией, также как и в полученном выражении, поэтому \( x2 \) =  c, а \( x1 \) =  a. Соответственно \( x3 \) = b. Ответ: acb