Алгебра логики. Задача 4-55

Сколько существует целых значений А, при которых формула

((x ≥ 12) ∧ (x⋅x + 6⋅x < A)) ∨ ((y⋅y + 4⋅y ≥ A) ∧ (y ≤ 4))

тождественно ложна (то есть принимает значение 0 при любых целых неотрицательных значениях переменных x и y)?

Ответ
184
Решение

Выражение \( ((x ≥ 12) ⋅ (x^2 + 6⋅x < A)) + ((y^2 + 4⋅y ≥ A) ⋅ (y ≤ 4)) \) ложно, когда ложны оба члена дизъюнкции:

 \( \begin{cases} (x ≥ 12) ⋅ (x^2 + 6⋅x < A) = 0 \\ (y^2 + 4⋅y ≥ A) ⋅ (y ≤ 4) = 0 \end{cases} \) 

Выражение первого уравнения ложно, когда ложен хотя бы один из членов конъюнкции, поэтому, когда \(  (x ≥ 12) \) истинно, \(  (x^2 + 6⋅x < A) \) должно быть ложно, то есть:

 \( \begin{cases} x ≥ 12  \\ x^2 + 6⋅x ≥ A \end{cases} \) 

Подставляем \( x = 12 \) во второе выражение: \( 12^2 + 6⋅12 ≥ A \)  \(  A  ≤ 216 \).

Аналогично:

 \( \begin{cases} y^2 + 4⋅y < A  \\ y ≤ 4 \end{cases} \) 

Подставляем \( y = 4 \) во второе выражение: \( 4^2 + 4⋅4 < A \) ⇒ \(  A  > 32 \).

 \( \begin{cases} A  ≤ 216  \\ A  > 32 \end{cases} \) 

Количество значений, удовлетворяющих условиям системы: 216 - 32 = 184