Системы счисления. Задание 1-17

Укажите через запятую в порядке возрастания все числа, не превосходящие 17, запись которых в двоичной системе счисления оканчивается на 11. Числа указывайте в десятичной системе счисления.

Ответ
3,7,11,15
Решение

Способ 1

Если число в двоичной системе счисления оканчивается на 1, то искомое число в десятичной системе счисления при делении на 2  должно давать остаток 1, то есть x = 2  y + 1, где x - искомое число, а y - любое целое положительное число.

В свою очередь число y должно делиться на 2 остатком 1, так как и следующий разряд в двоичной записи числа 1, y = 2 ∗ z + 1, где z любое положительное целое число.

Подставляя это выражение в предыдущее получим: x = 2 ∗ (2 ∗ z + 1)  + 1 = 4 ∗ z  + 3

При z = 0, получаем x = 3,
при  z = 1, получаем x = 7,
при  z = 2, получаем x = 11,
при  z = 3, получаем x = 15,
при  z = 4, получаем x = 19, но оно уже больше 17.

Способ 2

Искомые числа в двоичной системе счисления занимают 4 разряда, так как 24 = 16, всего на меньше 17. Запишем все четырех-разрядные двоичные числа, которые оканчиваются на 11:

0 0 1 1
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 1 1

Обратите внимание - старшие два разряда последовательно меняются.

Переведем полученные числа в десятичную систему счисления:

00112 = 21 + 20 = 3
01112 = 22 + 21 + 20 = 7
10112 = 23 + 21 + 20 = 11
11112 = 23 + 22 + 21 + 20 = 15