Алгебра логики. Задача 4-54

Для какого наибольшего целого числа А формула

((y⋅y ≤ A) → (y ≤ 15)) ∧ ((x ≤ 3) → x⋅x < A))

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных значениях переменных x и y)?

Ответ
255
Решение

Преобразуем выражение: \( ((y^2 ≤ A) → (y ≤ 15)) ⋅ ((x ≤ 3) → (x^2 < A))  = \) \( ((y^2 > A) + (y ≤ 15)) ⋅ ((x > 3) + (x^2 < A)) \)

Чтобы это выражение было истинно, необходимо, чтобы истинны были оба члена  конъюнкции, поэтому:

 \( \begin{cases} (y^2 > A) + (y ≤ 15) = 1 \\ (x > 3) + (x^2 < A) = 1 \end{cases} \) 

В первом уравнении системы, чтобы выражение было истинно, достаточно, чтобы истинным был один из членов дизъюнкции, поэтому   \( (y^2 > A) \) должно быть истинно при \( (y > 15) \). Подставляя  \( (y = 16) \) в \( (y^2 > A) \), получим  \( (A < 256) \).

Аналогично рассуждая: \( (x ≤ 3) \), подставляя \( (x = 3) \) в \( (x^2 < A)  \), получим \( (A >  9) \). То есть:

 \( \begin{cases} A < 256 \\ A >  9 \end{cases} \) 

Наибольшее целое число,  удовлетворяющее системе  \( A = 255 \)