Алгебра логики. Задача 4-54
Для какого наибольшего целого числа А формула
((y⋅y ≤ A) → (y ≤ 15)) ∧ ((x ≤ 3) → x⋅x < A))
тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных значениях переменных x и y)?
Преобразуем выражение: \( ((y^2 ≤ A) → (y ≤ 15)) ⋅ ((x ≤ 3) → (x^2 < A)) = \) \( ((y^2 > A) + (y ≤ 15)) ⋅ ((x > 3) + (x^2 < A)) \)
Чтобы это выражение было истинно, необходимо, чтобы истинны были оба члена конъюнкции, поэтому:
\( \begin{cases} (y^2 > A) + (y ≤ 15) = 1 \\ (x > 3) + (x^2 < A) = 1 \end{cases} \)
В первом уравнении системы, чтобы выражение было истинно, достаточно, чтобы истинным был один из членов дизъюнкции, поэтому \( (y^2 > A) \) должно быть истинно при \( (y > 15) \). Подставляя \( (y = 16) \) в \( (y^2 > A) \), получим \( (A < 256) \).
Аналогично рассуждая: \( (x ≤ 3) \), подставляя \( (x = 3) \) в \( (x^2 < A) \), получим \( (A > 9) \). То есть:
\( \begin{cases} A < 256 \\ A > 9 \end{cases} \)
Наибольшее целое число, удовлетворяющее системе \( A = 255 \)