Комбинаторика. Задача 8-14

Ипполит составляет 6-буквенные слова, в которых есть только буквы М, Е, Ч, Т, А, причём буква А используется в каждом слове хотя бы 3 раза. Каждая из других допустимых букв может встречаться в слове любое количество раз или не встречаться совсем. Словом считается любая допустимая последовательность букв, не обязательно осмысленная. Сколько различных слов может написать Ипполит?

(Автор: Е. Джобс)

Ответ
1545
Решение

Из пяти букв можно составить 56  = 15625 шестибуквенных слов.

Из общего количества вычтем слова, которые не содержат букву А: 46 = 4096

Также вычтем слова, в которых только одна буква А. Допустим буква А стоит на первом месте, тогда таких слов: 1 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 1024. Буква А может стоять также на 2, 3, 4, 5 и 6-ом местах, поэтому всего таких слов: 1024 ⋅ 6 = 6144

Кроме того, вычтем слова, в которых буква А встречается дважды. Допустим буквы А стоят на первом и втором местах, тогда таких слов: 1 ⋅ 1 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 256. По формуле сочетаний две буквы А можно расположить в шестибуквенном слове: 6 ⋅ 5 / 2 = 15 способами, поэтому всего слов с двумя буквами А: 15 ⋅ 256 = 3840

В итоге: 15625 - 4096 - 6144 - 3840 = 1545